Énoncé Examen National 2013 — Session Ordinaire — 2e Bac Sciences Mathématiques

Énoncé — Examen national 2013

Session ordinaire — Sciences Mathématiques A/B — Traduction française

Compétences et points clés

Le national SM ordinaire 2013 lie une nouvelle loi de composition à un modèle algébrique connu, puis développe complexes, arithmétique et analyse. Dans le problème, les propriétés d’une fonction sont réutilisées pour encadrer et faire converger une suite.

Prérequis à revoir : stabilité, associativité et homomorphismes; raisonnement par récurrence, monotonie et bornes; continuité sur un segment et dérivabilité.

Rappels de cours utiles

Lois de composition et groupes. Vérifier d’abord que la loi reste dans l’ensemble considéré et qu’elle est bien définie. Un groupe exige associativité, élément neutre et symétrique pour chaque élément. Le neutre dépend de la loi : il n’est pas automatiquement le nombre zéro ou le nombre un. Un isomorphisme demande aussi la bijectivité.

Suite récurrente et convergence. Une récurrence exige une initialisation et une hérédité. Pour une suite définie par une fonction, un intervalle stable aide à garantir l’existence des termes et leurs bornes. Une suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée, converge. L’équation vérifiée par sa limite ne s’utilise qu’après cette justification et le contrôle de la continuité.

Théorème des accroissements finis. Le TAF demande une fonction continue sur un segment et dérivable à son intérieur. Il relie une pente de sécante à un nombre dérivé en un point intérieur. Pour obtenir un encadrement, contrôler les valeurs de la dérivée sur tout l’intervalle utilisé.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Identifier le neutre de chaque loi au lieu de lui attribuer le rôle du zéro usuel. Pour la suite, démontrer d’abord que les termes restent dans l’intervalle annoncé. La majoration de la dérivée sert ensuite à contrôler l’écart à la limite ; conserver ce résultat pour la dernière partie.

Niveau : 2e Bac
Filière : Sciences Mathématiques A et B — Traduction française
Matière : Mathématiques
Durée : 4h
Coefficient : 9
Total : 20 points

Instructions générales :
La durée de l’épreuve est de 4 heures. L’épreuve comporte trois exercices et un problème indépendants deux à deux. Les exercices et le problème peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat. L’usage de la couleur rouge n’est pas permis.

Sujet officiel au format PDF :

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Accès rapide :
Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Problème

Accès détaillé aux questions

Composantes du sujet

Partie	Domaine	Points
Exercice 1	Structures algébriques	3,5 points
Exercice 2	Nombres complexes	3,5 points
Exercice 3	Arithmétique	3 points
Problème	Analyse	10 points

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Exercice 1 — Structures algébriques — 3,5 points

On rappelle que \((\mathbb R,+,\times)\) est un anneau commutatif, unitaire et intègre.

1) On munit \(\mathbb R\) de la loi de composition interne \(*\) définie par :

\[ \forall(x,y)\in\mathbb R^2,\qquad x*y=x+y-2 \]

0,5 pt1-a Montrer que la loi \(*\) est commutative et associative.

0,25 pt1-b Montrer que \((\mathbb R,*)\) admet un élément neutre que l’on déterminera.

0,5 pt1-c En déduire que \((\mathbb R,*)\) est un groupe commutatif.

2) On munit \(\mathbb R\) de la loi de composition interne \(T\) définie par :

\[ \forall(x,y)\in\mathbb R^2,\qquad xTy=xy-2x-2y+6 \]

et on considère l’application \(f\) de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) définie par :

\[ \forall x\in\mathbb R,\qquad f(x)=x+2 \]

0,5 pt2-a Montrer que l’application \(f\) est un isomorphisme de \((\mathbb R,\times)\) dans \((\mathbb R,T)\).

0,25 pt2-b Montrer que : \[ \forall(x,y,z)\in\mathbb R^3,\qquad (x*y)Tz=(xTz)*(yTz) \]

0,75 pt3 En déduire de tout ce qui précède que \((\mathbb R,*,T)\) est un anneau commutatif et unitaire.

0,25 pt4-a Montrer que : \[ xTy=2\quad\text{si et seulement si}\quad (x=2\ \text{ou}\ y=2) \]

0,25 pt4-b En déduire que l’anneau \((\mathbb R,*,T)\) est intègre.

0,25 pt4-c \((\mathbb R,*,T)\) est-il un corps ? Justifier votre réponse.

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Exercice 2 — Nombres complexes — 3,5 points

Partie I

Soit \(a\) un nombre complexe non nul. Soit, dans l’ensemble \(\mathbb C\), l’équation d’inconnue \(z\) :

\[ (E):\quad 2z^2-(3+i\sqrt3)az+(1+i\sqrt3)a^2=0 \]

0,25 ptI-1 Vérifier que le discriminant de l’équation \((E)\) est : \[ \Delta=(-1+i\sqrt3)^2a^2 \]

0,5 ptI-2 Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \((E)\).

Partie II

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\).

On considère les points \(A\), \(B\) et \(M\) d’affixes respectives :

\[ a,\qquad b=ae^{i\frac{\pi}{3}},\qquad z \]

Soit \(r\) la rotation de centre \(M\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{3}\).

On pose :

\[ A_1=r^{-1}(A)\qquad\text{et}\qquad B_1=r(B) \]

\(r^{-1}\) désigne la rotation réciproque de \(r\).

Soient \(a_1\) et \(b_1\) les affixes respectives de \(A_1\) et \(B_1\).

0,5 ptII-1 Vérifier que le triangle \(OAB\) est équilatéral.

0,5 ptII-2-a Montrer que : \[ a_1=\left(\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right)a+ \left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)z \] et : \[ b_1=\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)a+ \left(\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right)z \]

0,5 ptII-2-b Montrer que le quadrilatère \(OA_1MB_1\) est un parallélogramme.

3) On suppose que \(M\neq A\) et \(M\neq B\).

0,5 ptII-3-a Montrer que : \[ \frac{z-b_1}{z-a_1} = -\frac{z-b}{z-a}\times\frac{a}{b} \]

0,75 ptII-3-b Montrer que \(M\), \(A_1\) et \(B_1\) sont alignés si et seulement si \(M\), \(O\), \(A\) et \(B\) sont cocycliques.

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Exercice 3 — Arithmétique — 3 points

L’objectif de l’exercice est de chercher les entiers naturels \(n\) strictement supérieurs à \(1\) et qui vérifient la propriété suivante :

\[ (R):\quad 3^n-2^n\equiv0\ [n] \]

1) On suppose que \(n\) vérifie la propriété \((R)\), et soit \(p\) le plus petit diviseur premier positif de \(n\).

0,75 pt1-a Montrer que : \[ 3^n-2^n\equiv0\ [p] \] et en déduire que : \[ p\geq5 \]

0,5 pt1-b Montrer que : \[ 2^{p-1}\equiv1\ [p] \qquad\text{et}\qquad 3^{p-1}\equiv1\ [p] \]

0,5 pt1-c Montrer qu’il existe un couple \((a,b)\in\mathbb Z^2\) tel que : \[ an-b(p-1)=1 \]

0,5 pt1-d Soient \(r\) et \(q\) le reste et le quotient de la division euclidienne de \(a\) par \(p-1\) : \[ a=q(p-1)+r \qquad\text{avec}\qquad 0\leq r\lt p-1 \quad\text{et}\quad q\in\mathbb Z \] Montrer qu’il existe un entier naturel \(k\) tel que : \[ rn=1+k(p-1) \]

0,75 pt2 En déduire de tout ce qui précède qu’il n’existe pas d’entier naturel \(n\) strictement supérieur à \(1\) vérifiant \((R)\).

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Problème — Analyse — 10 points

On considère la fonction numérique \(h\) définie sur l’intervalle \([1,+\infty[\) par :

\[ h(1)=1 \]

et :

\[ \forall x>1,\qquad h(x)=\frac{x-1}{x\ln x} \]

Première partie

0,25 ptI-1-a Montrer que la fonction \(h\) est continue à droite en \(1\).

0,75 ptI-1-b Montrer que : \[ \forall x>1,\qquad \ln x\lt x-1 \] et en déduire que la fonction \(h\) est strictement décroissante sur l’intervalle \(]1,+\infty[\).

0,5 ptI-2-a Calculer : \[ \lim_{x\to+\infty}h(x) \] puis donner le tableau de variations de \(h\).

0,25 ptI-2-b En déduire que : \[ \forall x\geq1,\qquad 0\lt h(x)\leq1 \]

Deuxième partie

On considère la fonction numérique \(g\) définie sur l’intervalle \([1,+\infty[\) par :

\[ g(1)=\ln2 \]

et :

\[ \forall x>1,\qquad g(x)=\int_x^{x^2}\frac{1}{\sqrt t\ln t}\,dt \]

Soit \((C)\) la courbe représentative de la fonction \(g\) dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).

0,25 ptII-1-a Vérifier que : \[ \forall x>1,\qquad \int_x^{x^2}\frac{1}{t\ln t}\,dt=\ln2 \]

0,25 ptII-1-b Vérifier que : \[ \forall x>1,\qquad g(x)-\ln2=\int_x^{x^2}\frac{\sqrt t-1}{t\ln t}\,dt \]

0,5 ptII-1-c Montrer que : \[ \forall x>1,\qquad g(x)-\ln2=\int_{\sqrt x}^{x}\frac{t-1}{t\ln t}\,dt \]

0,5 ptII-2-a Montrer que : \[ \forall x>1,\qquad (x-\sqrt x)h(x)\leq g(x)-\ln2\leq(x-\sqrt x)h(\sqrt x) \]

0,5 ptII-2-b En déduire que la fonction \(g\) est dérivable à droite au point \(1\).

0,75 ptII-2-c Montrer que : \[ \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty \] et que : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{x}=0 \]

0,75 ptII-3-a Montrer que \(g\) est dérivable sur l’intervalle \(]1,+\infty[\) et que : \[ \forall x>1,\qquad g'(x)=\frac12 h(\sqrt x) \]

0,5 ptII-3-b En déduire que : \[ \forall x\geq1,\qquad 0\lt g'(x)\leq\frac12 \] puis donner le tableau de variations de \(g\).

0,5 ptII-3-c Construire la courbe \((C)\).

Troisième partie

0,5 ptIII-I-1 Montrer que la fonction \[ k:x\mapsto g(x)-x+1 \] est une bijection de l’intervalle \([1,+\infty[\) dans l’intervalle \(]-\infty,\ln2]\).

0,25 ptIII-I-2 En déduire qu’il existe un unique réel \(\alpha\) de l’intervalle \(]1,+\infty[\) qui vérifie : \[ 1+g(\alpha)=\alpha \]

II) On considère la suite numérique \((u_n)_{n\geq0}\) définie par :

\[ 1\leq u_0\lt\alpha \qquad\text{et}\qquad \forall n\geq0,\qquad u_{n+1}=1+g(u_n) \]

0,5 ptIII-II-1-a Montrer que : \[ \forall n\geq0,\qquad 1\leq u_n\lt\alpha \]

0,5 ptIII-II-1-b Montrer que la suite \((u_n)_{n\geq0}\) est strictement croissante.

0,75 ptIII-II-1-c En déduire que la suite \((u_n)_{n\geq0}\) est convergente et que : \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha \]

0,5 ptIII-II-2-a Montrer que : \[ \forall n\geq0,\qquad |u_{n+1}-\alpha|\leq\frac12|u_n-\alpha| \]

0,5 ptIII-II-2-b Montrer que : \[ \forall n\geq0,\qquad |u_n-\alpha|\leq\left(\frac12\right)^n|u_0-\alpha| \]

0,25 ptIII-II-2-c En déduire une deuxième fois que : \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha \]

FIN DE L’ÉNONCÉ — EXAMEN NATIONAL 2013 SESSION ORDINAIRE — SCIENCES MATHÉMATIQUES