Énoncé Examen National 2013 — Session Ordinaire — 2e Bac Sciences Mathématiques

Énoncé — Examen national 2013

Session ordinaire — Sciences Mathématiques A/B — Traduction française

Niveau : 2e Bac
Filière : Sciences Mathématiques A et B — Traduction française
Matière : Mathématiques
Durée : 4h
Coefficient : 9
Total : 20 points

Instructions générales :
La durée de l’épreuve est de 4 heures. L’épreuve comporte trois exercices et un problème indépendants deux à deux. Les exercices et le problème peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat. L’usage de la couleur rouge n’est pas permis.

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Accès rapide :
Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Problème

Accès détaillé aux questions

Composantes du sujet

Partie	Domaine	Points
Exercice 1	Structures algébriques	3,5 points
Exercice 2	Nombres complexes	3,5 points
Exercice 3	Arithmétique	3 points
Problème	Analyse	10 points

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Exercice 1 — Structures algébriques — 3,5 points

On rappelle que \((\mathbb R,+,\times)\) est un anneau commutatif, unitaire et intègre.

1) On munit \(\mathbb R\) de la loi de composition interne \(*\) définie par :

\[ \forall(x,y)\in\mathbb R^2,\qquad x*y=x+y-2 \]

0,5 pt1-a Montrer que la loi \(*\) est commutative et associative.

0,25 pt1-b Montrer que \((\mathbb R,*)\) admet un élément neutre que l’on déterminera.

0,5 pt1-c En déduire que \((\mathbb R,*)\) est un groupe commutatif.

2) On munit \(\mathbb R\) de la loi de composition interne \(T\) définie par :

\[ \forall(x,y)\in\mathbb R^2,\qquad xTy=xy-2x-2y+6 \]

et on considère l’application \(f\) de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) définie par :

\[ \forall x\in\mathbb R,\qquad f(x)=x+2 \]

0,5 pt2-a Montrer que l’application \(f\) est un isomorphisme de \((\mathbb R,\times)\) dans \((\mathbb R,T)\).

0,25 pt2-b Montrer que : \[ \forall(x,y,z)\in\mathbb R^3,\qquad (x*y)Tz=(xTz)*(yTz) \]

0,75 pt3 En déduire de tout ce qui précède que \((\mathbb R,*,T)\) est un anneau commutatif et unitaire.

0,25 pt4-a Montrer que : \[ xTy=2\quad\text{si et seulement si}\quad (x=2\ \text{ou}\ y=2) \]

0,25 pt4-b En déduire que l’anneau \((\mathbb R,*,T)\) est intègre.

0,25 pt4-c \((\mathbb R,*,T)\) est-il un corps ? Justifier votre réponse.

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Exercice 2 — Nombres complexes — 3,5 points

Partie I

Soit \(a\) un nombre complexe non nul. Soit, dans l’ensemble \(\mathbb C\), l’équation d’inconnue \(z\) :

\[ (E):\quad 2z^2-(3+i\sqrt3)az+(1+i\sqrt3)a^2=0 \]

0,25 ptI-1 Vérifier que le discriminant de l’équation \((E)\) est : \[ \Delta=(-1+i\sqrt3)^2a^2 \]

0,5 ptI-2 Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \((E)\).

Partie II

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\).

On considère les points \(A\), \(B\) et \(M\) d’affixes respectives :

\[ a,\qquad b=ae^{i\frac{\pi}{3}},\qquad z \]

Soit \(r\) la rotation de centre \(M\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{3}\).

On pose :

\[ A_1=r^{-1}(A)\qquad\text{et}\qquad B_1=r(B) \]

\(r^{-1}\) désigne la rotation réciproque de \(r\).

Soient \(a_1\) et \(b_1\) les affixes respectives de \(A_1\) et \(B_1\).

0,5 ptII-1 Vérifier que le triangle \(OAB\) est équilatéral.

0,5 ptII-2-a Montrer que : \[ a_1=\left(\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right)a+ \left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)z \] et : \[ b_1=\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)a+ \left(\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right)z \]

0,5 ptII-2-b Montrer que le quadrilatère \(OA_1MB_1\) est un parallélogramme.

3) On suppose que \(M\neq A\) et \(M\neq B\).

0,5 ptII-3-a Montrer que : \[ \frac{z-b_1}{z-a_1} = -\frac{z-b}{z-a}\times\frac{a}{b} \]

0,75 ptII-3-b Montrer que \(M\), \(A_1\) et \(B_1\) sont alignés si et seulement si \(M\), \(O\), \(A\) et \(B\) sont cocycliques.

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Exercice 3 — Arithmétique — 3 points

L’objectif de l’exercice est de chercher les entiers naturels \(n\) strictement supérieurs à \(1\) et qui vérifient la propriété suivante :

\[ (R):\quad 3^n-2^n\equiv0\ [n] \]

1) On suppose que \(n\) vérifie la propriété \((R)\), et soit \(p\) le plus petit diviseur premier positif de \(n\).

0,75 pt1-a Montrer que : \[ 3^n-2^n\equiv0\ [p] \] et en déduire que : \[ p\geq5 \]

0,5 pt1-b Montrer que : \[ 2^{p-1}\equiv1\ [p] \qquad\text{et}\qquad 3^{p-1}\equiv1\ [p] \]

0,5 pt1-c Montrer qu’il existe un couple \((a,b)\in\mathbb Z^2\) tel que : \[ an-b(p-1)=1 \]

0,5 pt1-d Soient \(r\) et \(q\) le reste et le quotient de la division euclidienne de \(a\) par \(p-1\) : \[ a=q(p-1)+r \qquad\text{avec}\qquad 0\leq r\lt p-1 \quad\text{et}\quad q\in\mathbb Z \] Montrer qu’il existe un entier naturel \(k\) tel que : \[ rn=1+k(p-1) \]

0,75 pt2 En déduire de tout ce qui précède qu’il n’existe pas d’entier naturel \(n\) strictement supérieur à \(1\) vérifiant \((R)\).

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Problème — Analyse — 10 points

On considère la fonction numérique \(h\) définie sur l’intervalle \([1,+\infty[\) par :

\[ h(1)=1 \]

et :

\[ \forall x>1,\qquad h(x)=\frac{x-1}{x\ln x} \]

Première partie

0,25 ptI-1-a Montrer que la fonction \(h\) est continue à droite en \(1\).

0,75 ptI-1-b Montrer que : \[ \forall x>1,\qquad \ln x\lt x-1 \] et en déduire que la fonction \(h\) est strictement décroissante sur l’intervalle \(]1,+\infty[\).

0,5 ptI-2-a Calculer : \[ \lim_{x\to+\infty}h(x) \] puis donner le tableau de variations de \(h\).

0,25 ptI-2-b En déduire que : \[ \forall x\geq1,\qquad 0\lt h(x)\leq1 \]

Deuxième partie

On considère la fonction numérique \(g\) définie sur l’intervalle \([1,+\infty[\) par :

\[ g(1)=\ln2 \]

et :

\[ \forall x>1,\qquad g(x)=\int_x^{x^2}\frac{1}{\sqrt t\ln t}\,dt \]

Soit \((C)\) la courbe représentative de la fonction \(g\) dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).

0,25 ptII-1-a Vérifier que : \[ \forall x>1,\qquad \int_x^{x^2}\frac{1}{t\ln t}\,dt=\ln2 \]

0,25 ptII-1-b Vérifier que : \[ \forall x>1,\qquad g(x)-\ln2=\int_x^{x^2}\frac{\sqrt t-1}{t\ln t}\,dt \]

0,5 ptII-1-c Montrer que : \[ \forall x>1,\qquad g(x)-\ln2=\int_{\sqrt x}^{x}\frac{t-1}{t\ln t}\,dt \]

0,5 ptII-2-a Montrer que : \[ \forall x>1,\qquad (x-\sqrt x)h(x)\leq g(x)-\ln2\leq(x-\sqrt x)h(\sqrt x) \]

0,5 ptII-2-b En déduire que la fonction \(g\) est dérivable à droite au point \(1\).

0,75 ptII-2-c Montrer que : \[ \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty \] et que : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{x}=0 \]

0,75 ptII-3-a Montrer que \(g\) est dérivable sur l’intervalle \(]1,+\infty[\) et que : \[ \forall x>1,\qquad g'(x)=\frac12 h(\sqrt x) \]

0,5 ptII-3-b En déduire que : \[ \forall x\geq1,\qquad 0\lt g'(x)\leq\frac12 \] puis donner le tableau de variations de \(g\).

0,5 ptII-3-c Construire la courbe \((C)\).

Troisième partie

0,5 ptIII-I-1 Montrer que la fonction \[ k:x\mapsto g(x)-x+1 \] est une bijection de l’intervalle \([1,+\infty[\) dans l’intervalle \(]-\infty,\ln2]\).

0,25 ptIII-I-2 En déduire qu’il existe un unique réel \(\alpha\) de l’intervalle \(]1,+\infty[\) qui vérifie : \[ 1+g(\alpha)=\alpha \]

II) On considère la suite numérique \((u_n)_{n\geq0}\) définie par :

\[ 1\leq u_0\lt\alpha \qquad\text{et}\qquad \forall n\geq0,\qquad u_{n+1}=1+g(u_n) \]

0,5 ptIII-II-1-a Montrer que : \[ \forall n\geq0,\qquad 1\leq u_n\lt\alpha \]

0,5 ptIII-II-1-b Montrer que la suite \((u_n)_{n\geq0}\) est strictement croissante.

0,75 ptIII-II-1-c En déduire que la suite \((u_n)_{n\geq0}\) est convergente et que : \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha \]

0,5 ptIII-II-2-a Montrer que : \[ \forall n\geq0,\qquad |u_{n+1}-\alpha|\leq\frac12|u_n-\alpha| \]

0,5 ptIII-II-2-b Montrer que : \[ \forall n\geq0,\qquad |u_n-\alpha|\leq\left(\frac12\right)^n|u_0-\alpha| \]

0,25 ptIII-II-2-c En déduire une deuxième fois que : \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha \]

FIN DE L’ÉNONCÉ — EXAMEN NATIONAL 2013 SESSION ORDINAIRE — SCIENCES MATHÉMATIQUES