Énoncé — Examen national 2013
Session ordinaire — Sciences Mathématiques A/B — Traduction française
Niveau : 2e Bac
Filière : Sciences Mathématiques A et B — Traduction française
Matière : Mathématiques
Durée : 4h
Coefficient : 9
Total : 20 points
Instructions générales :
La durée de l’épreuve est de 4 heures. L’épreuve comporte trois exercices et un problème indépendants deux à deux. Les exercices et le problème peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat. L’usage de la couleur rouge n’est pas permis.
Accès détaillé aux questions
Composantes du sujet
| Partie | Domaine | Points |
|---|
| Exercice 1 | Structures algébriques | 3,5 points |
| Exercice 2 | Nombres complexes | 3,5 points |
| Exercice 3 | Arithmétique | 3 points |
| Problème | Analyse | 10 points |
Exercice 1 — Structures algébriques — 3,5 points
On rappelle que \((\mathbb R,+,\times)\) est un anneau commutatif, unitaire et intègre.
1) On munit \(\mathbb R\) de la loi de composition interne \(*\) définie par :
\[
\forall(x,y)\in\mathbb R^2,\qquad x*y=x+y-2
\]
0,5 pt1-a Montrer que la loi \(*\) est commutative et associative.
0,25 pt1-b Montrer que \((\mathbb R,*)\) admet un élément neutre que l’on déterminera.
0,5 pt1-c En déduire que \((\mathbb R,*)\) est un groupe commutatif.
2) On munit \(\mathbb R\) de la loi de composition interne \(T\) définie par :
\[
\forall(x,y)\in\mathbb R^2,\qquad xTy=xy-2x-2y+6
\]
et on considère l’application \(f\) de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) définie par :
\[
\forall x\in\mathbb R,\qquad f(x)=x+2
\]
0,5 pt2-a Montrer que l’application \(f\) est un isomorphisme de \((\mathbb R,\times)\) dans \((\mathbb R,T)\).
0,25 pt2-b Montrer que :
\[
\forall(x,y,z)\in\mathbb R^3,\qquad (x*y)Tz=(xTz)*(yTz)
\]
0,75 pt3 En déduire de tout ce qui précède que \((\mathbb R,*,T)\) est un anneau commutatif et unitaire.
0,25 pt4-a Montrer que :
\[
xTy=2\quad\text{si et seulement si}\quad (x=2\ \text{ou}\ y=2)
\]
0,25 pt4-b En déduire que l’anneau \((\mathbb R,*,T)\) est intègre.
0,25 pt4-c \((\mathbb R,*,T)\) est-il un corps ? Justifier votre réponse.
Exercice 2 — Nombres complexes — 3,5 points
Partie I
Soit \(a\) un nombre complexe non nul. Soit, dans l’ensemble \(\mathbb C\), l’équation d’inconnue \(z\) :
\[
(E):\quad 2z^2-(3+i\sqrt3)az+(1+i\sqrt3)a^2=0
\]
0,25 ptI-1 Vérifier que le discriminant de l’équation \((E)\) est :
\[
\Delta=(-1+i\sqrt3)^2a^2
\]
0,5 ptI-2 Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \((E)\).
Partie II
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\).
On considère les points \(A\), \(B\) et \(M\) d’affixes respectives :
\[
a,\qquad b=ae^{i\frac{\pi}{3}},\qquad z
\]
Soit \(r\) la rotation de centre \(M\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{3}\).
On pose :
\[
A_1=r^{-1}(A)\qquad\text{et}\qquad B_1=r(B)
\]
\(r^{-1}\) désigne la rotation réciproque de \(r\).
Soient \(a_1\) et \(b_1\) les affixes respectives de \(A_1\) et \(B_1\).
0,5 ptII-1 Vérifier que le triangle \(OAB\) est équilatéral.
0,5 ptII-2-a Montrer que :
\[
a_1=\left(\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right)a+
\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)z
\]
et :
\[
b_1=\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)a+
\left(\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right)z
\]
0,5 ptII-2-b Montrer que le quadrilatère \(OA_1MB_1\) est un parallélogramme.
3) On suppose que \(M\neq A\) et \(M\neq B\).
0,5 ptII-3-a Montrer que :
\[
\frac{z-b_1}{z-a_1}
=
-\frac{z-b}{z-a}\times\frac{a}{b}
\]
0,75 ptII-3-b Montrer que \(M\), \(A_1\) et \(B_1\) sont alignés si et seulement si \(M\), \(O\), \(A\) et \(B\) sont cocycliques.
Exercice 3 — Arithmétique — 3 points
L’objectif de l’exercice est de chercher les entiers naturels \(n\) strictement supérieurs à \(1\) et qui vérifient la propriété suivante :
\[
(R):\quad 3^n-2^n\equiv0\ [n]
\]
1) On suppose que \(n\) vérifie la propriété \((R)\), et soit \(p\) le plus petit diviseur premier positif de \(n\).
0,75 pt1-a Montrer que :
\[
3^n-2^n\equiv0\ [p]
\]
et en déduire que :
\[
p\geq5
\]
0,5 pt1-b Montrer que :
\[
2^{p-1}\equiv1\ [p]
\qquad\text{et}\qquad
3^{p-1}\equiv1\ [p]
\]
0,5 pt1-c Montrer qu’il existe un couple \((a,b)\in\mathbb Z^2\) tel que :
\[
an-b(p-1)=1
\]
0,5 pt1-d Soient \(r\) et \(q\) le reste et le quotient de la division euclidienne de \(a\) par \(p-1\) :
\[
a=q(p-1)+r
\qquad\text{avec}\qquad
0\leq r\lt p-1
\quad\text{et}\quad q\in\mathbb Z
\]
Montrer qu’il existe un entier naturel \(k\) tel que :
\[
rn=1+k(p-1)
\]
0,75 pt2 En déduire de tout ce qui précède qu’il n’existe pas d’entier naturel \(n\) strictement supérieur à \(1\) vérifiant \((R)\).
Problème — Analyse — 10 points
On considère la fonction numérique \(h\) définie sur l’intervalle \([1,+\infty[\) par :
\[
h(1)=1
\]
et :
\[
\forall x>1,\qquad h(x)=\frac{x-1}{x\ln x}
\]
Première partie
0,25 ptI-1-a Montrer que la fonction \(h\) est continue à droite en \(1\).
0,75 ptI-1-b Montrer que :
\[
\forall x>1,\qquad \ln x\lt x-1
\]
et en déduire que la fonction \(h\) est strictement décroissante sur l’intervalle \(]1,+\infty[\).
0,5 ptI-2-a Calculer :
\[
\lim_{x\to+\infty}h(x)
\]
puis donner le tableau de variations de \(h\).
0,25 ptI-2-b En déduire que :
\[
\forall x\geq1,\qquad 0\lt h(x)\leq1
\]
Deuxième partie
On considère la fonction numérique \(g\) définie sur l’intervalle \([1,+\infty[\) par :
\[
g(1)=\ln2
\]
et :
\[
\forall x>1,\qquad
g(x)=\int_x^{x^2}\frac{1}{\sqrt t\ln t}\,dt
\]
Soit \((C)\) la courbe représentative de la fonction \(g\) dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).
0,25 ptII-1-a Vérifier que :
\[
\forall x>1,\qquad
\int_x^{x^2}\frac{1}{t\ln t}\,dt=\ln2
\]
0,25 ptII-1-b Vérifier que :
\[
\forall x>1,\qquad
g(x)-\ln2=\int_x^{x^2}\frac{\sqrt t-1}{t\ln t}\,dt
\]
0,5 ptII-1-c Montrer que :
\[
\forall x>1,\qquad
g(x)-\ln2=\int_{\sqrt x}^{x}\frac{t-1}{t\ln t}\,dt
\]
0,5 ptII-2-a Montrer que :
\[
\forall x>1,\qquad
(x-\sqrt x)h(x)\leq g(x)-\ln2\leq(x-\sqrt x)h(\sqrt x)
\]
0,5 ptII-2-b En déduire que la fonction \(g\) est dérivable à droite au point \(1\).
0,75 ptII-2-c Montrer que :
\[
\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty
\]
et que :
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{x}=0
\]
0,75 ptII-3-a Montrer que \(g\) est dérivable sur l’intervalle \(]1,+\infty[\) et que :
\[
\forall x>1,\qquad g'(x)=\frac12 h(\sqrt x)
\]
0,5 ptII-3-b En déduire que :
\[
\forall x\geq1,\qquad 0\lt g'(x)\leq\frac12
\]
puis donner le tableau de variations de \(g\).
0,5 ptII-3-c Construire la courbe \((C)\).
Troisième partie
0,5 ptIII-I-1 Montrer que la fonction
\[
k:x\mapsto g(x)-x+1
\]
est une bijection de l’intervalle \([1,+\infty[\) dans l’intervalle \(]-\infty,\ln2]\).
0,25 ptIII-I-2 En déduire qu’il existe un unique réel \(\alpha\) de l’intervalle \(]1,+\infty[\) qui vérifie :
\[
1+g(\alpha)=\alpha
\]
II) On considère la suite numérique \((u_n)_{n\geq0}\) définie par :
\[
1\leq u_0\lt\alpha
\qquad\text{et}\qquad
\forall n\geq0,\qquad u_{n+1}=1+g(u_n)
\]
0,5 ptIII-II-1-a Montrer que :
\[
\forall n\geq0,\qquad 1\leq u_n\lt\alpha
\]
0,5 ptIII-II-1-b Montrer que la suite \((u_n)_{n\geq0}\) est strictement croissante.
0,75 ptIII-II-1-c En déduire que la suite \((u_n)_{n\geq0}\) est convergente et que :
\[
\lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha
\]
0,5 ptIII-II-2-a Montrer que :
\[
\forall n\geq0,\qquad
|u_{n+1}-\alpha|\leq\frac12|u_n-\alpha|
\]
0,5 ptIII-II-2-b Montrer que :
\[
\forall n\geq0,\qquad
|u_n-\alpha|\leq\left(\frac12\right)^n|u_0-\alpha|
\]
0,25 ptIII-II-2-c En déduire une deuxième fois que :
\[
\lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha
\]
FIN DE L’ÉNONCÉ — EXAMEN NATIONAL 2013 SESSION ORDINAIRE — SCIENCES MATHÉMATIQUES
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